Главная » 2014»Сентябрь»2 » Скачать Численное моделирование высокоскоростных соударений деформируемых тел методом сглаженных частиц. Потапов, Антон Павлович бесплатно
04:18
Скачать Численное моделирование высокоскоростных соударений деформируемых тел методом сглаженных частиц. Потапов, Антон Павлович бесплатно
Численное моделирование высокоскоростных соударений деформируемых тел методом сглаженных частиц
Диссертация
Автор: Потапов, Антон Павлович
Название: Численное моделирование высокоскоростных соударений деформируемых тел методом сглаженных частиц
Справка: Потапов, Антон Павлович. Численное моделирование высокоскоростных соударений деформируемых тел методом сглаженных частиц : диссертация кандидата физико-математических наук : 05.13.18 / Потапов Антон Павлович; [Место защиты: Моск. физ.-техн. ин-т (гос. ун-т)] - Москва, 2009 - Количество страниц: 107 с. Москва, 2009 107 c. :
Объем: 107 стр.
Информация: Москва, 2009
Содержание:
ГЛАВА IIОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
ГЛАВА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЕЩЕСТВА
ГЛАВА ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД Оригинальный метод Метод с искусственной вязкостью Монотонный метод (схема Годунова) Гибридизированный метод Гибридный метод Тестовые расчеты Сходимость метода Законы сохранения Волновые процессы в многослойных средах Скорость пробития препятствия Тыльный откол
ГЛАВА АЛГОРИТМЫ И СТРУКТУРА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА Алгоритмы поиска соседей Полный перебор Окто-дерево Хэш-таблица Алгоритм распараллеленного метода Структура программного комплекса
ГЛАВА РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА Ударные нагрузки на здания Нагрузки на стержни Нагрузка на пластины Падение легкого самолета на здание Подводные лодки Посадка на дно Соударение с препятствием Осевое столкновение объектов Торцевое столкновение объектов Удар по поверхности объекта
Введение:
Решение проблемы обеспечения защиты и жизнедеятельности населения и опасных объектов при угрозах террористических проявлений требует разработки методов математического моделирования ударных и взрывных воздействий на жилые и промышленные здания, самолеты, надводные и подводные суда. Моделирование описанных выше процессов связано с построением или выбором адекватных математических моделей, особенно при широком диапазоне изменений давления, температуры, деформаций. Эти вопросы подробно изучались в таких работах, как [8, 11, 14-15, 17, 19, 25, 26, 31, 35, 42, 46-47, 68]. Для улучшения качества численных решений с особенностями разрывного характера применялись, в основном, методы, использующие характеристические свойства гиперболических систем уравнений (см., например, [14, 17, 31, 35]), гибридные методы (см., например, [34, 44, 54]),а также различные методы регуляризации, например [59].Проблемам получения уравнений динамики деформируемых сред посвящены [8, 14, 17,], широкодиапазонных уравнений состояний [9, 23].В работах по численному исследованию процессов интенсивного нарушения деформируемых сред использовались лагранжевы сетки с перестройкой, эйлеровы с методом маркеров, а также подвижные. Для наиболее сложных случаев (разрушение, фазовые переходы, разлет вещества) имеет смысл использовать метод частиц(" Smooth Particle Hydrodynamics" - SPH)[56, 57], поскольку использование других методов связано со значительными техническими либо теоретическими трудностями.Работа посвящена математическому моделированию, разработке методов и комплекса программ для проведения численных экспериментов в данном классе проблем. Современные прикладные задачи требуют как аккуратного описания разрушения и разлета вещества в областях интенсивных напряжений, так и аккуратного моделирования волновых процессов в остальной области моделирования. Численное решение задач такого рода сеточными методами сопряжено с большими трудностями, такими как построение трехмерной сетки и необходимостью ее периодической перестройки. Альтернативным вариантом решения такого класса задач является метод сглаженных частиц ("Smooth Particle Hydrodynamics" — SPH). Данный метод применим как для двумерного, так и для трехмерного случаев и описывает разлет вещества.Моделирование волновых процессов с помощью метода сглаженных частиц изучено недостаточно глубоко. Оригинальный метод сглаженных частиц не является монотонным и на разрывных решениях дает нефизичные осцилляции численного происхождения. Модифицированный монотонный метод, построенный по аналогии со схемой Годунова, размывает разрывы в решении. Представляется логичным создание метода, соединяющего преимущества этих двух методов (второй порядок аппроксимации и монотонность) и уменьшающего их недостатки (наличие осцилляции численного происхождения и размыв численных решений).Разностные методы решения задач МСС начали разрабатываться в середине прошлого века и хорошо себя зарекомендовали для большого числа практических задач. Однако создание эффективного алгоритма для проведения вычислений в трехмерной среде, со сложной геометрией и большими относительными сдвигами сопряжено с множеством проблем. Задача построения универсальной трехмерной сетки алгоритмически до сих пор не решена, на практике часть приходится корректировать известные методы построения сеток, т.к. задача построения удовлетворительной расчетной сетки для области интегрирования со сложной геометрией может оказаться весьматаки трудной. При больших сдвиговых деформациях появляется необходимость в перестройке сетки и последующей переинтерполяцией функций на новую сетку, в противном случае качество счета сильно падает, а количество необходимых вычислении вырастает на порядки.При решении задач со сложными течениями плохо работают как чисто эйлеровы методы (происходят большие перемещения узлов сетки в пространстве) так и лагранжевы (имеет место сильная деформация изначальной сетки). Метод частиц в ячейках можно считать попыткой совмещения достоинств обоих подходов.Основные работы над методом велись в области теоретического обоснования корректности метода. Первоначально метод имел чисто прагматическое обоснование, он работал, и в некоторых задачах работал лучше других методов. Анализ устойчивости и аппроксимации метода делится на две части. Первый этап, когда используется сетка, хорошо анализируется стандартными инструментами, описанными во всех учебных пособиях по вычислительной математике. Однако второй этап, использующий частицы, вызывает трудности для анализа методами, отработанными на конечноразностных аппроксимациях уравнений в частных производных. Первые попытки анализа были предложены Н. Н. Анучиной в конце 70-х. Анализ второго этапа было предложено проводить в предположении, что число частиц N стремится к бесконечности. Такой подход позволил применить конечноразностный инструмент и получить искомые оценки.Метод частиц в ячейках, однако, сыграл существенную роль в развитии как вычислительной математики в целом, так и бессеточных методов в частности. Так как его развитием стал метод сглаженных частиц.Метод гладких (сглаженных) частиц в зарубежной литературе известен как SPH-MeTOfl(Smoothed Particle Hydrodynamics). Он является бессеточным лагранжевым численным методом для расчетов процессов высокоскоростного соударения, а также иного интенсивного динамического нагружения тел, в особенности, когда имеет место существенное изменение топологии моделируемых объектов (разлет или интенсивное перемешивание вещества).Разработчикам удалось обойти сложности, связанные с перехлестом лагражевых ячеек, в результате чего SPH-метод на протяжении многих лет привлекает как специалистов по вычислительной математике, так и по численному моделированию высокоскоростных соударений.Метод может быть реализован в консервативной форме, а так же его особенностью является простой переход к трехмерному случаю. Производные вычисляются с помощью сплайн-интерполяции, в соответствии, с чем каждая гладкая частица является точкой интерполяции, в которой известны параметры деформируемой среды. Численное решение во всей области интегрирования получается с помощью интерполяционных функций, для которых эти частицы являются интерполяционными узлами. Таким образом, вычисление градиентов сводится к аналитическому дифференцированию гладких функций.Впервые метод был предложен в 1977 году. Традиционно теоретическое обоснование метода на момент его создания отсутствовало. Оригинальный метод обладал сильной немонотонностью, что мешало его использовать при решении задач с интенсивными взаимодействиями. Лишь к середине 80-х годов Моноганом была предложена и исследована подходящая искусственная вязкость, которая давала приличные результаты в решении задачи Римана. А так же исследованы вопросы аппроксимации. Теоретического решения проблемы устойчивости метода и выбора максимального шага по времени по сей день не найдено. Обычно в статьях указывают на то, что численный эксперимент показал такие то ограничения на шаг интегрирования.Применению метода для решения различного рода задач посвящено достаточно большое количество публикаций вышедших в 80-е-90-е годы. В основном работы содержали построение SPH-метода для решения задач в области газодинамики, теплопроводности, гидродинамики, механики деформируемого тела.Следующий качественный скачок в области развития данного метода был в конце прошлого столетия. Медин А. и Паршиков А.Н. опубликовали работу, в которой предложили вместо искусственной вязкости использовать решение задачи о распаде разрыва. После чего последовал ряд статей показывающих, что использование даже приближенного аналитического решения задачи Римана позволяет добиться аккуратного описания ударных волн, при сохранении всех положительных свойств метода. Так же был опубликован ряд работ предлагающих улучшенные приближенные решения задачи Римана, использование которого позволяло поднять точность метода сглаженных частиц.Так же велись работы по созданию; гибридных методов, например описанный в работе [13] подход. Однако в рамках указанной статьи в качестве основы для гибридного метода брались метод с искусственной вязкостью и монотонный метод, использующий решение задачи Римана. В указанной работе переключатель между схемами был бинарный, а для- определения используемого метода для; конкретной частицы опирался на физические свойства решения задач газодинамики, что делает данный метод не применимым к задачам деформируемого твердого тела.В данном отчете используется: гибридный вариант SPH-метода, в котором монотонной схемой является метод с использованием решения задачи Римана, схемой второго порядка - оригинальный метод Монаган.В первой главе подробно описаны цели работы и приведены постановки задач, решенных в работе.Первой задачей являлось моделирование волновых процессов и процессов разрушения: при соударении самолета со зданием. Данная задача представляет практический интерес с точки зрения решения проблемы защиты от террористических актов; При расчетах параметры ударника подбирались таким образом, чтобы наиболее реалистично имитировать падение легкого одномоторного самолета. Считалось, что дюралюминиевый ударник имеет скорость 200 м/с при длине 20 метров и диаметре 5 метров. Здание моделировалось бетонной решеткой с периодом 10 метров на 2,5 метра. В этой задаче основной интерес представляют волновые процессы в стенах и перекрытиях здания, а также разрушения:в зоне соударения.В. качестве второй задачи рассматривалось моделирование процессов деформирования корпусов объектов подводной техники при столкновениях объектов между собой, с грунтом и с высокоскоростными объектами. Задача представляется актуальной вследствие необходимости моделирования аварийных ситуаций на подводных лодках для минимизации их последствии для экипажа и техники. Считалось, что оболочка объектов состоит из цилиндра с полусферическими окончаниями. Внутри объекты имеют перегородки в трех плоскостях. В этой задаче основной интерес представляют волновые процессы в перегородках объектов и их оболочках, а также разрушения в зоне контактов с другими объектами.Во второй главе основное внимание уделено математической модели деформируемого упруго-пластического твердого тела. Состояние вещества описывается следующими функциями: р - плотность, иа - вектор скорости, аар - тензор напряжений, е - внутренняя энергия.В данной работе используется упругопластическая модель вещества.Законы сохранения массы, импульса и энергии записываются в виде где dp ди„ -J- + p—-dt дха = 0, dt р дхр de 1 6аР2 (диа+диЛ кдхр бха j тензор скоростей деформации, — d_ dt субстанциональная производная по времени.В качестве уравнения состояния моделируемой среды использовано уравнение состояния [57] Р = Р(р,е)=-п Р п \ •1 VPo V 4 ' vy J где Ки п- константы, определяемые экспериментальным путем.Третья глава диссертации посвящена описанию методов сглаженных частиц. Метод гладких (сглаженных) частиц (Smoothed Particle Hydrodynamics - SPH) является бессеточным лагранжевым численным методом для расчетов процессов высокоскоростного соударения, а также иного интенсивного динамического нагружения тел, в особенности, когда имеет место существенное изменение топологии моделируемых обьектов (разлет вещества). Метод может быть реализован в консервативной форме, кроме того, одним из основных его преимуществ является простой переход к трехмерному случаю. Производные вычисляются с помощью сплайнинтерполяции, в соответствии с чем каждая гладкая частица является точкой интерполяции, в которой известны параметры деформируемой среды.Численное решение во всей области интегрирования получается с помощью интерполяционных функций, для которых эти частицы являются интерполяционными узлами. Таким образом, вычисление градиентов сводится к аналитическому дифференцированию гладких функций.Основная суть известного метода заключается в приближении формулы а(х)= \ a(x')S(x'-x)dx' следующей цепочкой преобразований. Вначале мы заменяем обобщенную функцию S(x) аналитической функцией со(х'-х,И), которую называют ядром сглаживания, а И - радиусом сглаживания. В результате получим а (х) = Г а (х') со (х' - х, h) dx'.В случае, если рассматривается среда плотности р(х), то можно использовать следующее приближение * ( * ) - ! > со[х - х, h) р(х') dx' PH.Ядро ca(x'-x,ti) должно удовлетворять условиям J a)(x,ti)dx' = 1, Hx>h) *-»о >S(X)В работе Моногана утверждается, что при соблюдении этих условий и f г^\2^ х выборе со (х, h) = ехр обеспечивает порядок o(h2). построенная таким образом аппроксимация Теперь рассмотрим численные методы вычисления этих интегралов.Предполагалось, что среда разбита на маленькие, по сравнению с характерными размерами рассчитываемой модели, элементы. Каждый такой элемент имеет свое значение аппроксимируемого параметра а(х) равное а,. Также считались известными: его плотность - р,, местоположение - х/5 а также масса - т,.Для устранения нефизичных осцилляции использован подход Моногана, основанный на введении искусственной вязкости. Численные эксперименты [57] показали, что применение такой же формы вязкости в задачах механики деформируемого твердого тела дает удовлетворительные результаты.При использовании искусственной вязкости в множители вида — • 1 — — Pi Рк ) добавляется член '* _——, где ?.t =-- —2 —, сш - средняя скорость Ptk ( < - < ) +0.01/г2 звука, pik - средняя плотность, а и Ъ - коэффициенты искусственной вязкости.Метод с искусственной вязкостью обладает приемлемой немонотонностью, что позволяет использовать его при решении реальных задач динамики деформируемых сред.В четвертой главе исследуется возможность применения различных существующих алгоритмов поиска соседей, а так же известные алгоритмы и способы хранения данных в параллельной версии программы, с целью минимизации времени расчетов.Рассмотрены последовательности вычислений, необходимых для проведения интегрирования одного шага по времени: • Поиск соседей; • Вычисление производных; • Вычисление новых значений; • Обновление оптимизирующих структур; • Сохранение срезов данных.Вначале мы для каждой частицы находим всех ее соседей. Данная задача является вычислительно сложной и довольно трудоемкой, так как полный перебор имел бы сложность о(п2). При количестве частиц порядка 104 — 5-105 такие затраты непозволительны, и возможность использования любого известного метода сглаженных частиц сомнительна. Автором были проведены вычислительные эксперименты по оценке такого алгоритма поиска, и в результате один шаг интегрирования занимал около 5 минут для 104 частиц.Одним из более эффективных способов поиска соседей является применение оптимизирующей структуры в виде окто-дерева. Построение полного списка соседей для одной частицы с использованием дерева имеет сложность О (и log л). При количестве частиц 5-Ю5 время построения дерева равно 15 секундам, а построение всех соседей для всех частиц занимает еще 25 секунд.Далее мы вычисляем для всех частиц производные полевых функций и вычисляем шаг по времени для каждой частицы. После, зная производные для каждой частицы и общий шаг по времени, производим интегрирование.Следующим шагом необходимо обновить дерево, так как положение частиц могло измениться, и, соответственно, у частиц на следующем шаге интегрирования будут другие соседи. На данном этапе возможно проведение полной перестройки оптимизирующей структуры либо ее частичное обновление. Для окто-дерева применялась полная перестройка дерева.Так как нам важна зависимость полевых функций от времени, то теперь нам необходимо сохранить эти значения. Программный комплекс, созданный в рамках данной работы, поддерживает сохранение одно-, двух- и трехмерных срезов скалярных и векторных величин. Обработка всех полученных в ходе численного эксперимента срезов, такая как визуализация или нахождение соответствующих функционалов на них, проводится после окончания всех вычислений.В ходе работы также был реализован алгоритм, использующий хэштаблицу из стандартной библиотеки STL. Использование данного алгоритма позволило увеличить производительность на -30% и отказаться от поддержки собственной библиотеки, реализующей окто-дерево.Исследованы особенности параллельной версии метода и реализована программа на его основе. В случае параллельных вычислений последовательность действий для интегрирования одного шага по времени имеет дополнительные инструкции: • Поиск соседей; • Вычисление производных и шага по времени; • Синхронизация шага по времени; • Вычисление новых значений; • Обновление оптимизирующих структур; • Синхронизация приграничных частиц между соседними процессами; • Сохранение срезов данных.При сохранении срезов каждый процесс сохраняет только свои данные, это позволяет перенести этап сборки всего среза на этап обработки результатов вычисления, ускоряя вычисления.При синхронизации данных используются асинхронные вызовы библиотеки MPI, что позволяет не вводить строгий порядок обмена сообщениями между вычислителями, проводить интегрирование внутренних узлов одновременно с рассылкой данных соседям, а также отказаться от дополнительных копирований памяти.В пятой главе приведены результаты численного моделирования для прикладных задач, анализ полученных результатов и сравнение с экспериментальными данными и результатами других численных экспериментов.Для задачи соударения самолета со зданием приведены полученные результаты. В распределении давления показан фронт возмущений, имеющий конусообразную форму, что характерно для решетчатых конструкций. Также в области удара показаны разрушения и большие деформации как здания, так и самолета. Представленные результаты свидетельствуют об адекватности качественных характеристик процесса соударения трехмерному моделированию на основе гибридного метода сглаженных частиц.Для решения второй задачи о моделировании ударной нагрузки на движущиеся подводные объекты был проведен ряд вычислительных экспериментов. Рассматривались столкновения двух объектов, удар о препятствие, падение самолета, попадание артиллеристского снаряда, посадка на дно.
