Главная » 2014»Август»11 » Скачать Обратная задача вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка. Корчагина, Елена бесплатно
05:01
Скачать Обратная задача вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка. Корчагина, Елена бесплатно
Обратная задача вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка
Диссертация
Автор: Корчагина, Елена Васильевна
Название: Обратная задача вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка
Справка: Корчагина, Елена Васильевна. Обратная задача вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.02 Воронеж, 2003 113 c. : 61 04-1/254
Объем: 113 стр.
Информация: Воронеж, 2003
Содержание:
Г Л А В А I: ВАРИАЦИОННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ И ВАРИАЦИОННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§11Основные понятия
§12 Постановка задачи
§13 Две леммы Г Л А В А II: НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ШЕСТОГО ПОРЯДКА
§21 Необходимые и достаточные условия существования решения обратной задачи
§22 Более подробные необходимые и достаточные условия существования решения обратной задачи
§23 Следствия
§24 Примеры Г Л А В А III: ФУНКЦИОНАЛ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ШЕСТОГО ПОРЯДКА
§31 Вычисление вариационного интеграла
§32Примеры
§ЗЗСледствия
§34Частные случаи
Введение:
В развитии вариационного исчисления важную роль играют многие '^ • механические и физические задачи. В свою очередь методы вариационного исчисления широко используются в различных вопросах физики. Область • >s применения вариационного исчисления достаточна обширна - оно имеет приложения в самой математике и играет значительную роль в естественных, технических и экономических науках.Вариационное исчисление изучает обш,ие методы решения экстремальных задач, связанных с функционалами [3], которые определены на множестве функций, кривых или поверхностей. Отдельные задачи, связанные с понятием функционала, рассматривались более трехсот лет назад. Важнсйнше результаты здесь получили ещё И. Кеплер, П. Ферма, X. Гюйгенс, И. Ньютон, И. Берпулли, Ж . Лагранж, Л. Эйлер, К. Вейерн1трасс и др. Дальнейшее развитие теории функционалов связано с разработкой вариационных принципов. Математическая модель в виде дифференциалп>ных уравнений трактовалась как необходимое условие экстремума некоторого функционала или наоборот - уравнения получали из условия минимума некоторого функционала. При этом возникает хорошо известная обратная задача вариационного исчисления: для заданного дифференциального уравнения требуется найти функционал, обладаюпщй тем свойством, что это дифференциальное уравнение является для функционала уравнением Эйлера. Вопросы соответствия дифференциальных уравнений вариационным принципам обсуждаются, например, в работах Anderson I.M., Duchamp Т.Е. [27, 28], Atherton R.W., Homsy G.M. [30], Douglas J. [35], Chrastina J. [33, 34], Anderson I., Thompson G. [29], Bauderon M. [32]. При решении дифференциальных уравнений вариационными методами важно найти не просто соответствуюнщй функционал, но лучше - функционал, для которого решения уравне1шя V доставляют минимальные значения. Нахождению соответствующих функционалов посвян1,ены работы Филиппова В.М. [20, 21, 22, 23, 24, 25] и Balatoni F. [31]. В абстрактной форме обратная задача вариацио1П10го исчисления означает вычисление вариационного интеграла от дифференциального выражения. Её рассматривали Угланов [26], Коша А. [13], Рапопорт И.М. [17, 18]. В частности, Рапопорт И.М. получил необходимые и достаточные условия разрешимости обратных задач вариационного исчисления для обыкновенных дифференциальных уравнений и для уравнений в частных производных и получил формулу для нахождения функционала в виде криволинейного интеграла, независящего от выбора пути интегрирования. Однако нахождение функционала по таким (])ормулам связано с большими трудностями и зачастую в аналитическом виде не удаётся, поэтому продолжаются поиски более удобных решений обратной задачи.Новые необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления и формулы для вычисления соответствующего функционала получил для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвёртого порядков, а также для дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных В.Г. Задорожний [6, 8, 9].Целью данной диссертационной работы является: - нахождение необходимых и достаточных условий разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка ^,y{xU{xW{x)J^\x)J'\x)J'\x)J'\x)) = 0; (1) - получение формулы для вычисления функционала обратной задачи вариацион1Юго исчисления; - сравнение результатов с соответствующими условиями для систем дифференциальных уравнений.Работа состоит из трёх глав.В первой главе приводятся основные понятия и утверждения, которые используются на протяжении всей работы, и постановка задачи.Тогда ai{x) = а2{х) = = а'г{х) = О, Vx 6 (а, Ь).Обозначим через М множество функций у G С^{а,Ь), удовлетворяюпщх условиям у^^\а) = Ai, y^^\b) = Bi, г = 1,2, .,.,r, где Ai,Bi, г < п - заданные числа. Пусть D - область в R" и С{ отображения из [а, Ь] х D в Я. Во второй главе с помощью введенных утверждений получаются необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения нюстого порядка.В третьей главе при выполнении необходимых и достаточных условий разрешимости (3) - (11), получается явный вид функционала обратной задачи вариационного исчисления для дифференциального уравнения шестого порядка. Справедлива теорема.Как следствия из теоремы 2 находятся функционалы для дифференциальных уравнений второго и четвертого порядков.Дадим формулировку результатов для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвертого порядков, описанные в [9].Теорема 3 . Пусть в уравнении g | | = V^(x,!/(x),!,'(x),j/"{x)) функция ср дваэ1сды непрерывно дифференцируема по всем переменным.Оказывается, следствия из теоремы 1 и теоремы 2, полученные в данной диссертацио1нюй работе для уравнений второго и четвертого порядков, полностью совпадают с результатами, полученными в [9].Рассмотрим некоторые публикации на данную тему.В книге Задорожнего В.Г. "Дифференциальные уравнения с вариационными производными"[9] подробно рассматриваются обратные задачи вариационного исчисления для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвертого порядков, а также для систем * обыкновенных дифференциальных уравнений. Приводится методика и обоснование применяемого в данной работе метода решения.Итак, для того чтобы в обратной задаче для систем дифференциальных уравнений функция F вычислялась по формуле (15) необходимо выполнение дополнительных условий (13) и (14). В настоящей же работе показывается, что для обыкновенного дифференциального уравнения пюстого порядка при выполнении условий разрешимости обратной задачи всегда суш,ествует соответствующий функционал вида J{y)= / Q{x,y{x),y'{x)y{x),y^^\x))dx, Ja И не нужны дополнительные условия.В книге Андраша Konia "Вариационное исчисление"[13] содержатся основные результаты классического вариационного исчисления и I* рассматривается обратная задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка у" = F{x,y,y').Некоторое ограничение общности состоит в том, что рассматриваются только дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной (дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа часто таким не является).Работа состоит из введения, трех глав и библиографического списка, включающего 41 наименование источников.Результаты диссертации опубликованы в б работах [36-41] и докладывались на научных семинарах кафедры нелинейных колебаний Воронежского государственного университета, па весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIV"(3 мая - 9 мая 2003 г.).Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю профессору Задорожнему В.Г. за постановку задачи, постоянное внимание к работе, цепные замечания и предложения. i » г л A B A I ВАРИАЦИОННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ И ВАРИАЦИОННЫЙ ИНТЕГРАЛ
