Главная » 2014»Август»15 » Скачать Решение краевых задач теории аналитических функций в алгебрах Владимирова и умножение распределений. Шелкович, Владимир Михайлович бесплатно
06:52
Скачать Решение краевых задач теории аналитических функций в алгебрах Владимирова и умножение распределений. Шелкович, Владимир Михайлович бесплатно
Решение краевых задач теории аналитических функций в алгебрах Владимирова и умножение распределений
Диссертация
Автор: Шелкович, Владимир Михайлович
Название: Решение краевых задач теории аналитических функций в алгебрах Владимирова и умножение распределений
Справка: Шелкович, Владимир Михайлович. Решение краевых задач теории аналитических функций в алгебрах Владимирова и умножение распределений : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.01 Ростов-на-Дону, 1984 150 c. : 61 85-1/245
Объем: 150 стр.
Информация: Ростов-на-Дону, 1984
Содержание:
Введение
Глава I ОБОЗНАЧЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ
Введение
11 Обозначения
12 Конусы
13 Регулярные множества
14 Пространства СЧЮ и
15 Пространства основных и обобщенных функиий
16 Алгебры Владимирова
17 Интегральное представление Бохнера-Владимирова
Глава 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ В АЛГЕБРАХ ВЛАДИМИРОВА И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТИПА БОХНЕРА-ВЛАДИМИРОВА 33 Введение
21 Постановка задачи Римана для р -конуса и решение задачи о скачке для р -конуса
22 Решение задачи о скачке для октантов
23 Решение одной задачи Римана для плоского биконуса
24 Решение задачи Римана для конуса
25 Решение задачи Шварца
26 Постановка задачи Гильберта и сведение ее к задаче Римана
27 Задача Гильберта, сводящаяся к задаче Шварпа
28 Интегральное представление типа Бохнера-Владимирова
Глава 3 УМНОЖЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ МЕДЛЕННОГО Стр<
РОСТА И ГИПЕРРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВКИВАНОВА
Введение
31 Пространство аналитических представлений распределений
32 Алгебра Ж*
33 Пространство гиперраспределений 34 Умножение распределений и его корректность
35 Примеры (
Глава 4 ОДНА АЛГЕБРА ГИПЕРРАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВКИВАНОВА,
СВЯЗАННЫХ СО СВЕТОВЫМ КОНУСОМ
Введение
41 Распределения, связанные со световым конусом
42 Аналитические представления распределений из Ее юо
43 Алгебра гиперраспределений
44 Тождества для элементов ^
Глава 5 АЛГЕБРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И ВЕКТОР-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Введение
51 Алгебра Ь и пространство В
52 Умножение вектор-распределений
53 Преобразование Фурье
54 Первообразная
55 Значение в точке
56 Свертка и несобственный интеграл
57 Случай конечного точечного сингулярного носителя
58 Об оптической теореме теории рассеяния
59 Нелинейные дифференциальные уравнения
510 О регуляризации Наканиши
Введение:
В диссертации исследуются аналоги классических краевых задач теории аналитических функций многих комплексных переменных для распределений (обобщенных функций), находятся условия их разрешимости и даются общие решения р явном виде в замкнутой форме с помощью построенного интегрального представления типа Бохнера-Владимирова. Кроме того, рассматриваются вопросы, связанные с умножением распределений, строятся ассоциативно-коммутативные алгебры распределений. Для всех решаемых в диссертации задач используется общая методика и математический аппарат, связанный с алгебрами Владимирова; для них получены законченные результаты.
Далее, в [34] наш была поставлена в алгебрах Владимирова краевая задача Римана для р-конуса - прямого произведения выпуклых острых конусов, которая является обобщением задачи Римана из [9] и краевой задачи Тильмана [92]-[94] (см.2.1.1.) .Там же были найдены условия разрешимости и даны в замкнутой форме с помощью построенного интегрального представления типа Бохнера-Владимирова общие решения её частных случаев - краевых за/ дач: о скачке для р-конуса (см.2.1.1.), Тильмана для октантов (см.2.2.) и задачи Римана для плоского биконуса (см.2.3.).обобщающей на случай распределений результаты В.А.Какичева [30.] . (Задача Тильмана была решена нами ранее в [32; теоремы I и 2] ).
Известно, что интегральные представления играют большую роль в различных областях математической физики и приложениях (см., например, [8] ) и их построение является актуальной задачей. Поэтому построенное в [32] - [34] интегральное представление имеет самостоятельное значение. ( В частности с его помощью как уже сказано, были на^ены в замкнутой форме решения ряда краевых задач).
Р(*) -полином, в случае Уь- I и в случае октантов представление, подобное [32] , позднее вывел Р.Л.Кармайкл [76]-[77] .
Теперь перейдем к кругу вопросов, связанных с умножением распределений. Определение умножения распределений приводит к ряду серьёзных математических затруднений. Так, хорошо известно, что на множестве распределений нельзя ввести умножение о: В х ЕЕ , где ? - линейное подпространство какого-либо пространства распределений, обладающее всеми свойствами поточечного умножения функций: для всех ^ » $ » ^ ? ? :
1) ( однозначность ) с о = 0 ;
2) ( коммутативность ) = д ;
3) ( ассоциативность ) ({
4) ( однородность) произведение двух однородных распределений является распределением, степень однородности которого есть сумма степеней однородности сомножителей;
5) ( чётность ) С ? (-*) = 4 0$ ( -?*) ;
6) ( лейбницевость ) = 'с$ + $ е
7) ( локализация ) , где к = и - открытое множество из (?^ ;
8) если , го = 0 ;
10) (согласованность с умножением обычных функций) » если ^ , $ - обычные функции.
Еще Л.Шварц показал (см. [13; § 1,10.1 , [90;с.П9] ),что не существует умножения со свойствами 2), 3), 9). Однако, кроме чисто математического интереса, проблема умножения распределений имеет важные приложения локальной квантовой теории поля (см. [4; гл. У1-УП ] , [6; гл.1, доп.Б] , [б8]-[70] ) и при наховде-нии обобщенных решений нелинейных дифференциальных уравнений [423- [43.] , [73]- [74] . Этим объясняется актуальность проблемы умножения распределений и большое число публикаций, появившихся в последние годы по этой тематике. Рассмотрим различные подходы к этой задаче (см. также [18; § I] , [19; введение] ). Приводимое разбиение является достаточно условным.
К третьему направлению отнесём теории умножения, обобщающие идеи второго направления и связанные с гиперраспределениями В.К. Иванова. В [19]- [21] В.К. Ивановым была построена одномерная бинарная теория, умножение которой было корректным: то есть определено на всём пространстве В' , однозначно, согласовано с умножением на мультипликаторы и обычным умножением. Это умножение удовлетворяло свойствам I), 2), 4)-10). Однако в общем случае произведение двух распределений не являлось распределением < из , а принадлежало более широкому классу гиперраспределений
Как уже было сказано, задача умножения распределений возникает в квантовой теории поля. Там используются распределения, связанные со световым конусом [5, гл. ШЛ . Поэтому алгебры таких распределений могут найти в квантовой теории поля приложения и построение их представляет интерес. В [61] , [64], [66.], на основе подхода В.К.Иванова и его учеников [14] ,[23],[61], строятся ассоциативные алгебры гиперраспределений, связанные со све-вым конусом и включающие в себя распределения, используемые в квантовой теории поля. В отличие от [66] , алгебра в [64] не является лейбницевой и не включает присоединённых распределений.
В [46; IX.10] произведение определяется с помощью теории волновых фронтов. Однако такие простые распределения,как ?Гги)Г*3 и Рсх-*] , умножать нельзя.
Сюда же можно отнести работы [62] , [78]- [80], [87]- [88.], [96], в которых для некоторых произведений распределений выводятся тождества.
К пятому типу можно отнести аксиоматические теории. В [84] для построения алгебр используются многие из аксиом 1)-10). В серии работ Ю.М.Широкова и его учеников [68]-[70] , [48] -[49] на аксиоматической основе построены некоммутативные алгебря простейших распределений; в пространстве основных функций включены распределения рассматриваемого класса. В работах М.К.Коршунова [3б]-[37] построены алгебры распределений, порождённые х Ъ{,Лш,\х), Рсх»') . Из этих работ получаются как следствия многие соотношения [24]-[26.], [63] , [68]-[70] .В [36]-[37] не выполняется 5).
К шестому направлению отнесём появившиеся в последние годы теории, связанные с идеями нестандартного анализа и которые можно назвать асимптотическими. Общая идея этого направления такова: произведение распределений ?(х) и находится как асимптотика \ у, произведения аппроксимирующих функций. Таким образом, расходящиеся члены произведения сохраняются, и выявляется их структура.
Одни из первых работ в этом направлении принадлежат Я.Б.Лив-чаку [39]- [41] . Он вводит бинарное умножение распределений,которое является элементом векторной структуры "бесконечно больших", например, в [41; § 4.4.] : где Г - некоторый предел, и "бесконечно большая" величина Г и, = ?4 ?>) - значение В (х.) в нуле. На элементах век
VI —ч ОО торной структуры определяются значение в точке и многие линейные операции. В работах Хр.Я.Христова и Б.П.Дамянова [51]-[57] вводится класс асимптотических функций, включающий в себя бесконечно дифференцируемые функции и распределения = 0,1,. .На этих функциях определяются операции умножения, деления и ряд линейных операций: сложение, интегрирование, преобразование Фурье. Однако, асимптотические функции неоднозначны, так, распределение 8(ы)(х) имеет бесконечное множество асимптотических аналогов [54; 3.] , В работах Ли-Банг-Хе [85] и В.К.Иванова [28]-[29] произведения определяются на более широких классах распределений.
Выделяя общие черты этих работ, можно сказать, что произведение ^ >2, (*) распределений ;)-*(*)6 Ь, »ь заданного класса распределений Б , определяется как асимптотика
Ц(х,у) = 2. Ск(х,$ , где СкСУ.у-) Ск(х)6 ? , и потоглу из-за "взаимодействия" отрицательных степеней ^ в (0.2) и положительных в >{(х,у) , умножение (0.1)-(0.2) определено с точностью до произвольного распределения и неассоциативно. Заметим, что в работах В.К.Иванова [28] -[29] аппроксимирующие функции единственны и указанная неопределенность не возникает.
Для перечисленных работ, исключая работы В.К.Иванова [28]-[29] , умножение которых существенно бинарно, переход от произведения к асимптотике в (0.2) не мультипликативен в смысле определения 2 из [27] . Действительно, согласно ( 3.29) и (0.1) ( см. [85; с.579] ; ср. [28;пример 3] ):
8г(х)^(ЛКу.Т1 $(*) , у-^+о, (0.3)
Аналогично, в рамках подхода [28] , [85] можно получить: что противоречит (0.4). Таким образом, умножение (0.2) неассоциативно, и понятие степени выше второй не имеет смысла.
Немультипликативность (0.2) приводит к некорректности умножения Тильмана [94] , что было показано в [14;§ 1.2] , [27; с .734 ] . Однако, с помощью мультипликативной регуляризации из 5.1.-2. это умножение можно сделать корректным.
Возможность введения различных операций над произведениями распределений делает асимптотический подход весьма перспективным, однако, указанная неоднозначность умножения ограничивает возможности приложений. Поэтому возникает задача построения асимптотических ассоциативных алгебр распределений с однозначным умножением. Эта задача была решена в заметке [65,] (кратко излагающей результаты, описанные в гл.5), где построены алгебры простейших распределений со свойствами 1)-8), 10). На произведениях определены многие операции: преобразование Фурье, первообразная, несобственный интеграл, значение в точке. (Соответствующие операции в [51]-[57] неоднозначны). Одна из алгебр применяется для решения полиномиально-нелинейных дифференциальных уравнений ( нахождения обобщенных решений ). Кроме того (см.гл. 5), • этот формализм применяется для обоснования оптической теоремы квантовой теории рассеяния и для вычисления некоторых произведений инвариантных дельта-функций квантовой теории поля.
Материалы диссертации докладывались и обсуждались: в 1975 г. в Минске на II республиканской конференции математиков Белоруссш [34] ; на семинаре кафедры математического анализа УрГУ (руководитель - член-корреспондент АН СССР,профессор В.К. Иванов) в 1979 г. и в 1982 г. и на семинаре кафедры высшей математики в Таганрогском радиотехническом институте (руководитель -доцент В.А.Какичев) в 1983 г.
Большая часть результатов глав 2 и 3 была получена в дипломной работе автора, выполненной под руководством В.А.Какичева в 1973 г. в Ростовском-на-Дону госуниверситете. По теме диссертации опубликовано 7 работ: [31]-[34] , [64] -?66] . Статьи [31]-[34] написаны в соавторстве с научным руководителем В.А.Какиче-вым. В этих работах постановка задач и схема их решения принадлежат В.А.Какичеву, а фактическое решение В.М.Шелковичу.
Теперь кратко остановимся на содержании диссертации. Подробное содержание глав излагается во введениях к ним. Диссертация состоит из Введения и 5 глав. Библиография содержит 96 названий. В главе I приводятся обозначения и результаты, используемые в основном тексте (главах 2-5). Формулировки и доказательства лемм 1.1 и 1.2 принадлежат автору. Лемма 1.2, имеющая самостоятельный интерес, переносит результат Л.Шварца [90; Ш, § 10.2] для 2)' на случай пространства .
