Внешние обратные краевые задачи в многосвязных областях и на римановых поверхностях

Диссертация

Автор: Киндер, Михаил Иванович

Название: Внешние обратные краевые задачи в многосвязных областях и на римановых поверхностях

Справка: Киндер, Михаил Иванович. Внешние обратные краевые задачи в многосвязных областях и на римановых поверхностях : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.01 Казань, 1984 147 c. : 61 85-1/1721

Объем: 147 стр.

Информация: Казань, 1984

Внутренняя обратная краевая задача для аналитических функций в случае многосвязных областей была исследована Ф.Д.Гаховым [18] и М.Т.Нужиным [ЗЗ]. В своих работах сш отметили существенное отличие такой задачи от окз в односвязном случае. Основная сложность здесь заключается в том, что искомая функция2(w) может оказаться неоднозначной. Исследование осложняется еще из-за того, что уже на первом этапе решения задачи начальные данные не могут гарантировать однозначность аналитической функции Ы ЪХ*), Чтобы задача отыскания этой функции стала корректной, в ее постановку добавляются произвольные элементы. Этот цуть, предложенный Л.Н.Журбенко [2б], приводит к так называемой видоизмененной обратной краевой задаче, которая в случав внешней окз формулируется следующим образом.
Требуется найти регулярную функцию w(2) и (п+1) - связную область ее определения 0S 1 ;ВК» к = 1,1 , - неизвестные длины граничных кривых , $ -дуговая абсцисса при этом предполагается, что функции w^CT^UicCO+ilW) » Т ?[0,1] (у , описывают границу плоской (а-и) -связной области eDwsw(2)2) с границей
Внешние окз по другим параметрам в многосвязных областях исследовались Р.Б.Салимовым, Л.Н.Журбенко, Р.Г.Авхадиевым ( см. обзор [п])> а также в диссертации С.Б.Сагитовой [S9J, где доказана разрешимость различных окз как в двусвязных, так и многое вя-зных областях.
Внешняя окз по дуговому параметру $ изучалась в основном только с гидромеханическими целями (за исключением двусвяз-ного случая [зб]) и с гидромеханической нормировкой: w(во) г во . Результаты по этим задачам описаны в [42, гл. 1У]. Во внешней окз с нормировкой w{©o) = w0 при неизвестной величине w0 в [42, с.80] намеченный путь исследования не привел к точному выводу о разрешимости задачи в многосвязной области. Аналог уравнения (0.1) для определения w0 в случае двусвязных областей впервые выведен в [44], а его разрешимость обоснована С.Б.Сагитовой[39].
Таким образом, возникла необходимость преодолеть разрыв, который наметился между внутренними и внешними задачами теории окз в случав многосвязных областей. Исследование возникающих во внешних окз аналогов уравнения (0.1) представляет собой важную проблему теории окз. Этим и обусловлена актуальность темы диссертации. Ее целью является доказательство разрешимости внешних окз в различных постановках и исследование окз в случае многосвязных областей и риманошх поверхностей.
Кратко изложим основные результаты работы. Диссертация состоит из трех глав, разделенных на одиннадцать параграфов. Нумерация формул и утверждений ведется по параграфам.
В первой главе изучена внешняя обратная краевая задача по дуговому параметру S в многосвязных областях.
С соотношением (0.2) связана вещественная поверхность Q с уравнением Q=Q(u,V) , где Q(w) = | e*(W)/fWsunir, стационарными точками которой служат корни уравнения (0.2) и только они. Это уравнение обобщает (0.1) на случай многосвязных областей и совпадает с ним, когда <0W - единичный круг. Назовем его уравнением Гахова.
Теорема I.I. Уравнение Гахова в случае конечносвяз-ной области Sw всегда разрешимо.
В этом же параграфе приведены примеры, в которых уравнение Гахова имеет любое наперед заданное число или даже континуум решений.
В § 2 рассмотрена общая постановка внешней окз при минимальных ограничениях на граничные функции и^т), (X) ,Я=0,а. Исследование условий, обеспечивающих разрешимость внутренней и внешней окз (с незаданной величиной w(co)= w0 ), в односвязных областях было начато Ф.Д.Гахошм [20] и С.Н.Андриановым [13]. П.Л.Шабалин [44] обобщил го: результаты на случай внутренней окз для многосвязных областей. В работах [20, 13] общее решение внешней задачи для односвязных областей было получено в предположении, что уравнение (0.2) разрешимо и при минимальных ограничениях на функции Ug(T), l/K(T). В этом параграфе обосновывается это предположение в случае как односвязных, так и многосвязных областей со спрямляемыми границами. С использованием результатов [20, 44] доказано (теоремы 2.1 и 2.2), что минимальные ограничения, которым должны удовлетворять граничные функции WK (X)=U„(T) R = Q,n, для разрешимости внешней окз, имеют вид: а') функции U^X), 1^(1), л = 0,rv , являются абсолютно непрерывными, б') производные w?(X) почти всюду удовлетворяют неравенствам 0<|Wg(T)l В § 3 изучен вопрос о числе корней уравнения (0.2). Этот вопрос занимает важное место в теории окз, так как от количества корней уравнения (0.2) существенно зависит число решений внешней задачи. Результаты, касающиеся единственности решения уравнения (0.2) в односвязных областях, подробно описаны в обзорной статье [п].
Введем векторное поле градиента функции Q : особыми точками которого являются корни (0.2) и только они.С использованием теории плоских векторных полей [30] доказано, что уравнение Гахова в многосвязном случае всегда имеет неединственное решение. Точнее, справедлива
Теорема 3.1. Уравнение Гахова имеет в (гЫ) -связной области В случае одно- и двусвязных областей приведены примеры,подтверждающие точность нижней оценки из теоремы 3.1.
В § 4 исследовано строение поверхности Q , связанной с уравнением (0.2).
Разобьем все корни WK уравнения Гахова на три группы в зависимости от значений их индексов [зо], которые могут цринимать лишь три значения: -I, 0, +1. На основе известных фактов из дифференциальной геометрии [25, 15] каждая из этих групп охарактеризована следующим образом.
Теорема 4.1. Поверхность П » связанная с уравнением Гахова, в окрестности UK особых точек (wK>Q(w„)) допускает только три типа строения: I) если у (we) « ? 1 , то UK выпукла; 2) если s 0 , то UK имеет полуседло образное строение; 3) если ^(wK) = -1 , то UK аналогична обыкновенному седлу.
В главе П исследованы обратные краевые задачи по смешанным параметрам S и 8 (0 - угол наклона касательной к искомым граничным контурам), рассмотрены некоторые геометрические вопросы, связанные с решением окз.
SO /ч части на одних контурах и мнимои - на остальной части границы. С использованием идеи видоизменения постановки задачи [2б] , т.е. добавлением в граничные данные некоторых произвольных постоянных,показано (лемма 5.2), что за счет выбора этих постоянных всегда можно единственным образом отыскать однозначную и регулярную в области Теорема 5.1. Внутренняя обратная краевая задача по смешанным параметрам S и 0 в случае многосвязной области разрешима, если граничные функции ик(Т) ,lfK(X) , К - О,П , обладают непрерывными производными, не обращающимися одновременно в нуль, и если выполняются условия замкнутости
W) е cLw S О, К S 1,П. (0в3)
Функция 2(w) , определенная формулой 2(\N) = J 6 dw+C, при выполнении (0.3) осуществляет конформное отображение области ?)w на искомую область Ю^ .
Внешняя окз по смешанным параметрам S и 6 , т.е. задача отыскания конечносвязной области ®2 , содержащей одну бесконечно удаленную точку, по граничным значениям искомой функции w(2), заданным в зависимости от параметра S или 8 , рассмотрена в § 6.
При решении этой задачи для устранения полюса второго порядка в точке w0 у использовано конформное и однолистное отображение области 3)w на единичный крут с радиальными и концентрическими круговыми разрезами. В лемме 6.1 с помощью аналогов функций Грина, Неймана и гармонических мер граничных контуров области fflw получен явный вид указанного отображения. Обозначим, как и в § I, каноническое конформное отображение (Dw на единичный круг с радиальными и крутовыми разрезами через J (w,W0) , 3F(w,w0)= (w-w0)f(w,w0)>f(wo>wo)*0 • С помощью ?(w,w0) разрешимость внешней окз по параметрам $ и 9 сводится к разрешимости аналога уравнения Гахова (0.2) 2f;(w,w)/f(w,w), (0.4) служащего для определения неизвестного полюса w0 функции H(w) .
С црименением свойств плоских векторных полей доказана
Теорема 6.1. Згравнение (0.4) в (rt + 1 )-связной области fflw разрешимо при любом .
Для исключенного в теореме 6.1 случая двусвязных областей приведены примеры неразрешимых уравнений (0.4).
Из разрешимости уравнения (0.4) следует
Теорема 6.2. Внешняя окз по параметрам $ и б будет разрешимой в случае ( 11+1 )-связной области, если порядок связности больше двух (п>1 ), а граничные функции UK(T), ,
1С = 0,1г, обладают гельдеровыми производными, не обращающимися одновременно в нуль, и если выполняются условия замкнутости вида eX(w)r\w,w0)dw = o,K=Mi.
В § 7 рассмотрены симметричные решения внутренних и внешних окз по параметру $ в случае многосвязных областей. Полученные здесь результаты уточняют и обобщают результаты [э] доказанные для односвязных и двусвязных областей. В этом параграфе введены условия пг -симметрии и зеркальной симметрии граничных функций, указаны необходимые и достаточные требования, цри которых решение внутренней или внешней окз является m -симметричной (или зеркально симметричной) функцией в пг -симметричной (зеркально симметричной) области Э2 .
Определение 7.5. Будем говорить, что. граничные функции WK(T), К в о,П , заданные на отрезке [0,1] , удовлетворяют условиям зеркальной симметрии, если W0(T) = W0(1 -X) и для каждого существует j^O такое, что WK(T) .
Граничные функции WK(T), R = 0,fi , этого типа описывают границу зеркально симметричной области ?)w .Условие WK(T) = -X) при Ksj означает симметрганость граничного контура относительно вещественной оси, а при к Фд описывает зеркальную симметрию двух контуров Приведем типичное утверждение из § 7.
Теорема 7.4. Для того чтобы внешняя окз обладала зеркально симметричным решением W(Z) в зеркально симметричной области Я2 , необходимо, а при выполнении условий замкнутости и достаточно, чтобы граничные функции WKCO, K«0,n , удовлетворяли условиям зеркальной симметрии.
В § 8 описаны простейшие критерии для определения индексов корней уравнения Гахова в симметричных областях. Приведенные здесь результаты позволяют в некоторых случаях установить существование дополнительных корней уравнения Гахова. В теореме 8.1 указан способ определения индексов точек по поведению функции Q(u,u) на оси симметрии поверхности Q . В конце параграфа 8 рассмотрен модельный пример поверхности, являющейся аналогом поверхности О , связанной с уравнением Гахова, исследованы стационарные точки этсй поверхности и с помощью теоремы 8.1 оцределены значения их индексов. Установлено, что доказанная в теореме 3.1 нижняя оценка числа стационарных точек ?2 достигается для этой модельной поверхности.
В третьей главе исследованы более слоякые окз в ситуации, когда искомая и известная многосвязные области расположены на ри-мановых поверхностях рода р О .
В § 9 рассмотрена обратная краевая задача, когда граничные функции описывают границу конечносвязной плоской области i а искомая область 3)2 расположена на конечнолистной римановой поверхности 3t 2 рода нуль и может содержать точки ветвления 3ffcz. При этом предполагается, что конформность отображения нарушается в конечном числе точек, образы которых известны, и задано поведение в них функции 2(w), обратной к W(?).
Решение задачи найдено в определенном классе функций 2(w) ?[n;пг1Э.,ntp] (т.е. Z(w) имеет в точках ,js1»p, области cDw полюсы порядков ntj , a обращается в нуль первого порядка в заданных точках CLg,0«1,N) ив классе областей с заданными геометрическими характеристиками искомых граничных контуров Лък
Для нахождения неизвестных полюсов , j » 1,р , возникает система уравнений J разрешимость которой обоснована в теоремах 9.1, 9.2 в классах[N;0],
N;1] , [N; 1 ,.,1] .В последнем случае разрешимость окз до
Р ' казана при дополнительном предположении о том, что граничные функции удовлетворяют условиям р -симметрии и описывают границу конеч-носвязной р -симметричной области 5)^0. При этих условиях с использованием теории плоских векторных полей и теории ортонормирован-ных систем в теореме 9.3 показано, что число различных наборов (64,.,6р) в обратной задаче с 2(W)e[N;1r^] не меньше М-1 + 2р .
Обратным краевым задачам на компактных римановых поверхностях ненулевого рода посвящен § 10. Впервые общая постановка таких задач рассмотрена в [б]. В этом параграфе дано уточнение общей постановки для случая окз с единственным полюсом второго порядка у Z'(w). Это уточнение основывается на постановке окз в случае римановых поверхностей [б], видоизменении такой постановки из работы [26] и внесении дополнительных ограничений геометрического характера на граничные контуры искомой области .
В § II для обратной краевой задачи, сформулированной в § 10, исследована разрешимость уравнения Гахова. Используя свойства векторных полей на двумерных многообразиях,дано обобщение теоремы 3.1 на случай компактных римановых поверхностей рода р .
Теорема II.2. В ограниченной конечносвязной области^, граница которой состоит из Л + 1 гладких кривых ?Wk » уравнение Гахова имеет не менее 2p + n+f решений.
Выделим основные результаты работы:
• установлена зависимость числа корней уравнения Гахова от порядка связности и рода области, расположенной на римановой поверхности; приведена полная классификация корней этого уравнения;
• найдены наименьшие ограничения на граничные данные, обеспечивающие разрешимость внешней обратной краевой задачи; выделены случаи корректной постановки внешних задач в двусвязной области без дополнительных условий;
• поставлены и исследованы внутренняя и внешняя окз по смешанным параметрам $ и 0 ; доказана разрешимость внешней задачи в областях с порядком связности больше двух.
Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [l0, 12, 28, 29] . В статье [12], написанной совместно с Л.А.Аксентьевым и С.Б.Сагитовой, автору диссертации принадлежит доказательство разрешимости уравнения Гахова в случае многосвязной области с порядком связности больше двух (§ I), а также ряд примеров из § 2. В работе [io] им доказана теорема 2, остальные результаты статьи получены совместно .
По мере получения результаты докладывались на семинаре по геометрической теории функций в Казанском университете (руководитель -профессор Л.А.Аксентьев), на итоговых научных конференциях Казанского университета (1982-1984 г.г.), на IX Донецком коллоквиуме по теории квазиконформных отображений, ее обобщениям и приложениям (сентябрь 1984 г.), на У Всесоюзной школе "Теоретические основы и конструирование алгоритмов решения задач математической физики и теории приближений" (Казань, август 1984 г.) .
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Л.А.Аксентьеву за постоянное внимание к работе и A.M. Елизарову за полезные замечания.

Скачивание файла!

Для скачивания файла вам нужно ввести
E-Mail: 1277
Пароль: 1277
Скачать файл.